BERMAIN MATEMATIKA : MENCARI KETENTUAN DALAM LINGKARAN

Presented by : Alexander R Hermawan

Ketika masih duduk di bangku SMP , saat  belajar mata pelajaran Matematika , kita pasti mendapatkan pelajaran tentang bangun dan geometri . Selain itu , kita juga telah mendapatkan beberapa rumus untuk perhitungan luas , panjang keliling atau pun isi / volume suatu bangun geometri .

Tentunya, sebagai dasar pokok perhitungan yang diberikan sewaktu masih bersekolah di bangku sekolah tersebut, yang pada masa selanjutnya akan selalu dipergunakan untuk setiap perhitungan yang kita hadapi ; entah di mata pelajaran lain atau tingkat kelas  selanjutnya , mata pelajaran di sekolah menengah atas ataupun sekolah kejuruan teknik , atau juga  di mata pelajaran kuliah ketika di bangku kuliah, dan bahkan di pekerjaan ataupun dalam kehidupan sehari-hari , dapat saja kita temui , di mana dulunya kita selalu di tekankan untuk harus tidak lupa , atau mungkin kalau bisa , hafal di luar kepala , istilah untuk mereka yang pandai , karena daya ingat yang luar biasa , sehingga bisa ingat tanpa harus mengingat-ingat.

Nah , salah satu pokok dasar yang ingin saya ulas di sini , adalah dasar  perhitungan yang terdapat dalam suatu bangun geometri yaitu : lingkaran .

Perhatikan gambar berikut ini .

mencari pi 

Salah satu ketentuan pokok dari suatu lingkaran , entah sudah pernah dijelaskan , atau entah saya mungkin lupa ( tapi sepengatahuan saya , tidak pernah dijelaskan ) , bahwa ketentuan Pi , adalah merupakan bilangan konstan dari ( 22/7 )  atau  ( 3,142657 ) atau lebih sering dipergunakan dengan dua angka di belakang koma , sehingga nilai konstan pembulatannya menjadi ( 3,14 ) . Jadi nilai Pi adalah senilai dengan  3,14 .  Nah , dari situlah kemudian saya mendapat pertanyaan , lantas dari mana nilai konstan Pi = 3,14  atau nilai 22/7 , itu berasal ?

Dari pelajaran SD kelas 4 hingga lulus SD , saya tidak menemukan pengajaran dari mana sebenarnya asalnya nilai Pi tersebut . Demikian pula ketika di bangku sekolah SMP ,  bahkan hingga saat duduk di bangku sekolah teknik STM , saya mengingat-ingat dan juga mencari-cari dari buku-buku catatan pelajaran saya , buku perpustakaan , buku pegangan , semua tidak ada  penjelasan mengenai asal muasal nilai konstan Pi = 3,14

Dan waktu berlalu , hingga kurang  lebih lima belas tahun kemudian dari pertanyaan yang diajukan kepada saya tersebut ketika masih duduk di bangku SMP, ketidak tahuan tentang asal muasal nilai konstan Pi tersebut kembali menggelitik saya .

Dan mungkin karena saya kemudian penasaran dan terus mengutak-atik modul lingkaran berdasar bentuk dan bentangan-bentangan yang saya buat  ketika sedang membuat design mold dan design product untuk prototype product souvenir candi Borobudur , yang mempunyai bentuk yang simetris dan bangun simetris melingkar dengan beribu-ribu ornamen dan relief yang sangat menakjubkan , dan ,  dari yang dapat saya pelajari dari beberapa sumber bahan sejarah , saya dapat menemukan penggunaan satuan “depa“ atau “hasta” , yang dipergunakan pada masa pembuatan candi Borobudur pada awal abad 8 Masehi ( +/- tahun 723 Masehi ) hingga awal abad 9 Masehi ( sampai +/- tahun 850 Masehi ) , akhirnya ,  saya makin dapat memahami apa arti sebuah lingkaran yang sebenarnya dalam penerapannya. Tetapi , saya tidak dapat menarik kesimpulan apakah penggunaan “ Pi “ dalam menentukan bentangan-bentangan telah diterapkan pada pola-pola pembuatan bangun-bangun pada candi Borobudur dalam ukuran-ukuran yang simetris tersebut  ?

 

MENCARI KETENTUAN = Pi

Dari ketentuan dasar :  diameter ( d ) , yang merupakan  2 radius atau 2 jari-jari , sehingga ketentuan panjang jari-jari ( r ) adalah sama dengan panjang ( 1/2 x d ) , maka dalam mencari luas atau penampang dari suatu lingkaran , sebagai rumus dasar lingkaran yang dipergunakan , adalah  ( berdasar penemunya : Pi  , hukum Pi = Phitagoras  ?  ) :

luas lingkaran = 1/4 x ( Pi ) x d 2

atau      =  ( Pi ) x r 2 

Dan rumus dasar yang dipergunakan dalam menentukan panjang keliling lingkaran adalah :

panjang keliling lingkaran =  ( Pi ) x d

atau      =   ( Pi ) x 2 x r

Dan karena masih tergelitik dengan nilai konstan (Pi) tersebut , akhirnya saya mencoba mencari pemecahan sendiri . Langkah pertama yang saya lakukan, adalah mencari panjang keliling dengan nilai konstan ( Pi ) pada suatu lingkaran dengan diameter (d) adalah bilangan dengan satuan unit yang bulat , yaitu 1 cm , saya memilih angka 1 ( satu ) , karena , dalam perkalian akan menghasilkan nilai yang sama untuk bilangan yang akan dikalikan , dalam hal ini adalah nilai konstan ( Pi ) tersebut.

Jadi pada kalkulasi , dengan ukuran diameter yang bulat (d) = 1 cm ,  jelas akan ditemukan nilai yang sama dengan nilai konstannya , dalam rumus ini adalah ( Pi = 3.14 ) , yaitu ;

panjang keliling lingkaran = ( Pi )  x  d ,  maka

3,14  x  1 cm   = 3,14  cm

Di sini, saya kemudian melilitkan seutas benang tali pada sebatang besi dengan diameter 1 cm . Setelah terlilit satu putaran penuh dan rapi terpotong , kemudian lilitan itu saya bentangkan , dan bentangan tersebut kemudian saya ukur , dan karena alat ukur yang saya pergunakan waktu itu adalah penggaris besi dalam ukuran per stripnya adalah 0.5 mm , saya hanya mampu membaca ukuran sampai pada panjang = 31.5 mm  ( 3,15 cm ) dan kurang lebihnya .

Demikian pula dengan menerapkan diameter pada pipa dengan diameter bersatuan unit inchi, yaitu pipa dengan diameter 1 inchi , saya dapat memperoleh ukuran bentangan dengan kawat yang lebih presisi dengan konversi , 1 inchi  = 25,4 mm . Sehingga pada kawat yang dililitkan pada sekeliling diameter pipa tersebut , setelah dibentangkan , panjang keliling terukur ;  3,14 inchi , atau dalam mm terukur  ;  79,83 mm .  ( dengan digital kaliper 3 digit , terukur 79,832 mm ) . Atau jika kemudian dihitung dengan ketentuan rumusnya :

 panjang keliling lingkaran = ( Pi ) x d

3,143  inchi   x  25,4 mm  =  79,832 mm

Dari pengukuran tersebut, akhirnya saya  merasa yakin , bahwa hasil panjang keliling dari diameter ( d ) = 1 ( satu ) , yang dibuat dengan semua jenis satuan unit , akan menghasilkan panjang keliling yang sama dalam jenis satuan unit yang dipergunakan , yaitu sebesar 3,14 , atau ( 3,143 dengan 3 angka di belakang koma ) . ( Jika dilakukan perhitungan dari 22/7 , akan diperoleh   angka sebesar ( 3,142657 ) dengan 6 angka di belakang koma ).

Dengan demikian , akhirnya saya berkesimpulan bahwa , nilai konstan ( Pi = 3,143 ) itu dapat dinyatakan sebagai berikut :

Adalah bentangan panjang keliling dari suatu lingkaran dengan diameter (d ) = 1 ( satu ) pada setiap unit satuan yang dipergunakan ( depa , hasta , mm , cm , meter , inchi , feet , dan  lain-lain ) , dan adalah nilai konstan untuk perkalian yang dipergunakan , dalam mencari panjang keliling , atau bentangan lingkaran-lingkaran  yang diameternya lebih besar dari pada 0 ( nol )  hingga tak terhingga “ .   

mencari l = pi   

 

MENCARI   KETENTUAN   LUAS   BERDASARKAN PANJANG  KELILING  DAN  HUBUNGANNYA DENGAN  ( Pi )

Dan bagaimana hubungannya hal pencarian Pi tersebut di atas dengan pencarian luas area pada suatu lingkaran , setelah mengetahui asal muasal nilai konstan ( Pi = 3,143 ) tersebut ? Perhatikan gambar berikut ini dengan seksama .

mencari luas 

Sebuah lingkaran dengan diameter  (d) dapat terisi penuh , jika pada bagian dalamnya diisi pula oleh lingkaran-lingkaran yang diameter (d) – nya secara gradiasi , mengecil secara konstan hingga sampai pada titik tengah ( titik pusat-nya ) , yang diameter (d) – nya adalah = 0 ( nol  ) , sebagai diameter (d) terakhir , yang dapat diketahui .   Dengan demikian , secara gradiasi , kita dapat mengandaikan , jika diameter selanjutnya setelah diameter (d) yang kita ketahui , adalah diameter (d’) dan diameter selanjutnya adalah diameter (d“) , dan seterusnya , hingga pada titik tengahnya , diameter (d0) , yang mempunyai diameter = 0 ( nol ) .

Dengan demikian , maka  panjang keliling dari masing-masing lingkaran yang ada di dalam lingkaran diameter (d) dan diameter gradiasinya , dapat diketahui perhitungannya berdasarkan rumus dasar perhitungan panjang keliling ( l ), ( l’ ), ( l”) hingga ( l 0 – l=0 )  –>  ( karena d0 = 0 ) ,  dengan  nilai konstan yang telah diketahui ( Pi = 3,143 ) .

Berdasar gambar di atas , kita dapat mengetahui panjang keliling lingkaran ( l ) dari suatu lingkaran dengan  diameter (d) , adalah sebesar :

panjang keliling ( l ) = ( Pi ) x d

atau = ( Pi ) x 2 x r

Tetapi, dalam hal ini  kita tidak perlu membuat kalkulasi atas pengandaian diamater-diameter dan panjang keliling lingkaran-lingkaran sebagaimana telah kita sebutkan tersebut di atas , tetapi kita dapat mengetahui nilai rata-rata yang dapat dihasilkan selanjutnya karena gradiasi yang konstan , antara lingkaran diameter (d) dan diameter ( d0 ) pada titik pusat , yaitu adalah sebagai berikut :

panjang keliling ( l ) rata-rata

=  [ panjang keliling ( l ) + panjang keliling  ( l 0 ) ]  /   2

=  { [ ( Pi ) x d ] + 0 }  / 2

=  [ ( Pi ) x d ]  /  2

atau 

  =  [ ( Pi ) x 2 x r ]  /  2  

=   ( Pi )  x  r

Dan panjang dari sisi terluar diameter (d) ke titik pusatnya ( pada diameter (d0) = 0 ) , atau merupakan jari-jari / radius (r) dari lingkaran dengan diameter (d) adalah , r = d/2 , maka , isian pada area / luas lingkaran diameter (d) dapat dihitung dengan hasil sebagai berikut :

area / luas  lingkaran (A)

= [ panjang keliling ( l ) rata-rata x   jari-jari / radius (r) ] 

= ( Pi )  x  r  x  r

= ( Pi )  x  r 2

 

atau

 

{ [ ( Pi ) x d ]  /  2 }  x  { d / 2 }

= [ ( Pi ) x d  2 ] / 4

= 1/4 x ( Pi ) x d 2

 

Nah, demikian akhirnya saya dapat dengan lega dan suka hati bisa membuat kalkulasi berdasarkan pengertian yang dapat saya pahami asalnya, dan tentunya hal ini tidak saja terjadi pada penggunaan rumus-rumus serta faktor-faktor perhitungan selanjutnya , karena berkaitan dan memang mutlak diperlukan .

Dan kita tunggu ulasan selanjutnya , mengenai perhitungan dan rumus-rumus pada bangun empat persegi .

About these ads

About alexrh2010

NEW COMER
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s